题目

设函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，①求实数的范围；②证明：. 答案：【答案】（1）；（2），证明详见解析．【解析】试题本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将代入，对求导，切点的纵坐标为，斜率为，利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，令，将函数存在两个极值点，转化为方程有两个不同的正根，利用二次函数的图象分析列出不等式，解出a的取值范围；对求导，求出的根，得到的表达式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出最小值，即证明了结论．试题解析：（1）当a＝2时，，，则，，所以切线方程为．4分（2）（），令，得，①函数有两个极值点等价于方程有两个不同的正根，设，所以，所以函数有两个极值点，，则，②由，得，则，，，在区间上递减，，所以

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