题目

如图，在 中， . （1） 在BA的延长线上确定一点D，使得点D到A，C两点的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2） 在（1）的情况下，AC的垂直平分线与 的平分线交于点E，连接EA，EC，DC，求 和 之间的数量关系. 答案： 解：作AC的垂直平分线，与BA的延长线相交点即为D点，如图所示点D为所求作的点 解：结论： 2∠AEC+∠BDC=180° . 理由：连接CD. ∵AB=AC ， ∴∠ACB=∠B ， ∴∠DAC=∠ACB+∠ABC=2∠B ， ∠BAC=180°−2∠B ， ∵AE 平分 ∠ABC ， ∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=90°−∠B ， ∵ 点E在AC的垂直平分线上， ∴EA=EC ， ∴∠ACE=∠EAC=90°−∠B ， ∴∠AEC=180°−∠CAE−∠ACE=2∠B ， ∵DA=DC ， ∴∠DCA=∠DAC=2∠B ， ∴∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA=180°−4∠B ， ∴2∠AEC+∠ADC=180° ， 即 2∠AEC+∠BDC=180° .

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