题目

如图 1，直线 分别交 于点 (点 在点 的右侧)，若 （1） 求证: ； （2） 如图2所示，点 在 之间，且位于 的异侧，连 ， 若 ，则 三个角之间存在何种数量关系，并说明理由. （3） 如图 3 所示,点 在线段 上，点 在直线 的下方，点 是直线 上一点（在 的左侧），连接 ,若 ,则请直接写出 与 之间的数量 答案： 证明：∵∠1=∠BEF， ∠1+∠2=180° ∴∠BEF+∠2=180° ∴AB∥CD. 解： 12∠N=∠AEM−∠NFD 设∠N= 2α ，∠M= 3α ，∠AEM= x ，∠NFD= y 过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB ∵ AB//CD ，MP∥AB，NQ∥AB ∴MP∥NQ∥AB∥CD ∴∠EMP= x ，∠FNQ= y ∴∠PMN= 3α - x ，∠QNM= 2α - y ∴ 3α - x = 2α - y 即 α = x - y ∴ 12∠N=∠AEM−∠NFD 故答案为 12∠N=∠AEM−∠NFD 解： 13 ∠N+∠PMH=180° 过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R. ∵ AB//CD ，MI∥AB，NQ∥CD ∴AB∥MI∥NQ∥CD ∴∠BPM=∠PMI ∵∠MPN=2∠MPB ∴∠MPN=2∠PMI ∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI ∵∠NFH=2∠HFD ∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD ∵∠RFN=∠HFD ∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM ∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF 即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF ∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH ∵3∠PMI+∠PNH=180° ∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180° ∵3∠RFM+∠FNH=180° ∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0° 即∠RFM-∠PMI= 13 ∠FNP ∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH ∠FNP-2× 13 ∠FNP=180°-∠PMH 13 ∠FNP=180°-∠PMH 即 13 ∠N+∠PMH=180° 故答案为 13 ∠N+∠PMH=180°

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