题目

在四棱锥 中， ， ， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，平面 平面 .（Ⅰ）证明： ；（Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积. 答案：解：（Ⅰ）证明：取 BC ， AC 的中点分别为 M ， N ，连接 AM ， PN .∵ ΔPAC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，∴ PN⊥AC .∵平面 PAC⊥ 平面 ABCD ，平面 PAC∩​ 平面 ABCD=AC ，∴ PN⊥ 平面 ABCD ，而 AB⊂ABCD ，∴ PN⊥AB ①又∵ ∠ADC=∠BCD=90∘ ， AD=CD=1 ， BC=2 ，∴四边形 AMCD 为正方形，且 AC=AB=2 ，∴ ∠BAC=90∘ ，即 AB⊥AC ②由①②及 PN∩​AC=N 得： AB⊥ 面 PAC ，又∵ PC⊂ 面 PAC ，∴ AB⊥PC ，又∵ PA⊥PC ， PA∩​AB=A ，∴ PC⊥ 面 PAB ，而 PB⊂ 面 PAB ，∴ PC⊥PB .（Ⅱ）过 E 点作 EF⊥AC 于 F ，则 EF⊥ 面 ABCD 且 EF=23PN=23 ，VA−EBC=VE−ABC=29 （或由（Ⅰ）得 AB⊥ 面 PAC ， VA−EBC=VB−EAC=13SΔAEC⋅AB=29 ）

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