题目

已知数列中，，且 ( 且 ) （1）当时，求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，对任意，恒成立，求实数的取值范围. 答案：解：因为 bn=4bn−1+1 ( n≥2 且 n∈N* )，所以 bn+13=4(bn−1+13) ，所以数列 {bn+13} 是首项为 b1+13=1 ，公比为4的等比数列，所以 bn+13=4n−1 即 bn=4n−1−13 ；解：由（1）可得 bn+13=(2b+13)⋅4n−1 即 bn=(2b+13)⋅4n−1−13 ，所以 an=bn2n=(2b+13)⋅4n−1−132n=(12b+112)⋅2n−13⋅2n ，所以 Sn=(12b+112)⋅(21+22+⋅⋅⋅+2n)−13⋅(12+122+⋅⋅⋅+12n) =(12b+112)⋅2(1−2n)1−2−13⋅12(1−12n)1−12=(12b+112)⋅(2n+1−2)−13⋅(1−12n) ，所以 S2=(12b+112)×6−13⋅(1−14)=3b+14 ，所以 (12b+112)⋅(2n+1−2)−13⋅(1−12n)≥3b+14 恒成立，化简得 (2n−4)b≥34−13⋅2n−2n+112 ，当 n≥3 时， b≥34−13⋅2n−2n+112(2n−4)=2n−4+2n+1(4−2n)12⋅2n(2n−4)=112⋅2n−16 ，则只要 b≥112⋅23−16=−532 即可；当 n=2 时，显然成立；当 n=1 时， −2b≥34−13⋅2−412 即 b≤−18 ；综上， −532≤b≤−18

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