题目

在如图所示的四棱锥中，，，，，，，分别为，的中点，平面平面．（1）证明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．答案： ∵E，F 分别为 PA，AD 的中点， ∴EF//PD ， ∵PD⊂ 平面 PCD ， EF⊄ 平面 PCD ， ∴EF// 平面 PCD ；取 AB 的中点 О ，连接 OP . ∵PA=PB ， ∴OP⊥AB ， ∵ 平面 PAB⊥ 平面 ABCD ，平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB ， OP⊂ 平面 PAB ， ∴OP⊥ 平面 ABCD . 过点 О 在平面 ABCD 内作 AB 的垂线 l ，则 PO，AB，l 两两垂直. 以 О 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ， ∵PA=22 ， AB=4 ， BC=12AD=3 ， ∴E(1，0，1) ， F(2，3，0) ， C(−2，3，0) ， ∴CE→=(3，−3，1) ， CF→=(4，0，0) ，设平面 CEF 的法向量 m→=(x，y，z) ， {m⇀⋅CE⇀=0m⇀⋅CF⇀=0 ，即 {3x−3y+z=04x=0 ，令 y=1 ，则 x=0 ， z=3 ， ∴m→=(0，1，3) ，又平面 CAF 的一个法向量为 n→=(0，0，1) ∴cos<m→，n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=310=31010 ，由图象可知二面角 E−CF−A 为锐二面角， ∴ 二面角 E−CF−A 的余弦值为 31010 .

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