题目

设异面直线a与b所成的角为50°,O为空间一定点,试讨论,过点O与a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线l有且仅有几条? 答案：解:过点O作a1∥a,b1∥b,则相交直线a1、b1确定一平面α.a1与b1夹角为50°或130°,    设直线OA与a1、b1均为θ角,作AB⊥面α于点B,BC⊥a1于点C,BD⊥b1于点D,记∠AOB=θ1,∠BOC=θ2(θ2=25°或65°),    则有cosθ=cosθ1·cosθ2.    因为0°≤θ1≤90°,    所以0≤cosθ≤cosθ2.    当θ2=25°时,由0≤cosθ≤cos25°,得25°≤θ≤90°;    当θ2=65°时,由0≤cosθ≤cos65°,得65°≤θ≤90°.    故当θ＜25°时,直线l不存在;当θ=25°时,直线l有且仅有1条;    当25°＜θ＜65°时,直线l有且仅有2条;    当θ=65°时,直线l有且仅有3条;    当65°＜θ＜90°时,直线l有且仅有4条;    当θ=90°时,直线l有且仅有1条.讲评:异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为:求过点O与a1、b1均成θ角的直线的条数,进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数.

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