题目

已知 ，且 ． （1） 求证： ； （2） 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 答案： 证明：由柯西不等式得 [x2+(3y)2][12+(13)2]≥(1⋅x+3y⋅13)2 ． ∴ (x2+3y2)×43≥(x+y)2 ，当且仅当 x=3y 时取等号． ∴ x2+3y2≥34 解： 1x+1y=(x+y)(1x+1y)=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4 ， 要使得不等式 1x+1y≥|a−2|+|a+1| 恒成立，即可转化为 |a−2|+|a+1|≤4 ， 当 a≥2 时， 2a−1≤4 ，可得 2≤a≤52 ， 当 −1<a<2 时， 3≤4 ，可得 −1<a<2 ， 当 a≤−1 时， −2a+1≤4 ，可得 −32≤a≤−1 ， ∴ a 的取值范围为： [−32,52]

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