题目

已知数列满足： ， . （1） 证明： ， ； （2） 证明： ， . 答案： 证明：对任意n∈N∗，an≥n.因为a1=2≥1，a2=2≥2，a3=a12+a2=1+2=3≥3，假设当n=k(k≥3)时，ak≥k，则ak+1≥ak1+ak−12≥k+k−12≥k+1，这说明当n=k+1时，ak+1≥k+1也成立，综上所述，an≥n，n∈N* 证明：先归纳证明：对任意k∈{1，2，⋯，n}，ak≥110k(k+1)，因为a1=2≥1×210，a2=2≥2×310，a3=3≥3×410，a4≥4≥4×510，a5≥5≥5×610，a6≥6≥6×710，假设当n=k(k≥6，k∈N∗)时，ak≥k(k+1)10，则当n=k+1时，∵3k2+k−2(k2+3k+2)=k2−5k−4≥62−5×6−4>0，ak+1≥ak+ak−12≥k(k+1)10+k(k−1)20=3k2+k20>k2+3k+210=(k+1)(k+2)10，这说明当n=k+1(k≥6，k∈N∗)时，ak+1≥(k+1)(k+2)10，综上所述，an≥110n(n+1)，n∈N*，所以，an≤10n(n+1)=10(1n−1n+1)，故1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an<10(1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1)=10nn+1<10，得证!

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