题目

已知函数y＝ 的图象如图所示，点A（x1 ， y1）在第一象限内的函数图象上. （1） 若点B（x2 ， y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1. ①当y2＝y1＝4时，求x1 ， x2的值； ②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2 ， 求w的最小值； （2） 过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 答案： 解：①∵y＝ {−x(x≤0)x2(x>0) ，由x2＜x1且y2＝y1＝4时， 由y1＝x12＝4， ∴x1＝2（负值舍）， 由y2＝﹣x2＝4， ∴x2＝﹣4， ②∵|x2|＝|x1|且x2＜x1.x1＞0， ∴x2＜0且x1＝﹣x2， ∴y1＝x12，y2＝﹣x2＝x1， ∴w＝y1﹣y2＝x12﹣x1＝（x1﹣ 12 ）2﹣ 14 ， ∴当x1＝ 12 时，w有最小值为﹣ 14 ， 解：如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，   ∵AQ⊥x轴， ∴AQ∥y轴， ∴∠AP'M＝∠P'AQ， ∵点Q与Q'关于AP'对称， ∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'， ∴∠P'AQ＝∠P'AQ'， ∴∠AP'M＝∠P'AQ'， ∴AM＝P'M， ∵点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上. ∴x1＞0，y1＝x12＞0， ∴x1＝ y1 ， ∵AP⊥y轴， ∴P点的坐标为（0，y1），AP＝x1＝ y1 ， ∵点P与P'关于x轴对称， ∴点P'的坐标为（0，﹣y1）， ∴PM＝|y1﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|， ∵在Rt△APM中，由勾股定理得： （ y1 ）2+|y1﹣b|2＝|y1+b|2， 化简得：y1﹣4by1＝0， ∵y1＞0， ∴b＝ 14 ， ∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0， 14 ）.

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