题目

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ，且 ． （1） 求 的方程． （2） 若 ， 为 上的两个动点，过 且垂直 轴的直线平分 ，证明：直线 过定点． 答案： 解：因为 |F1F2|=4=2c ，所以 c=2 ，所以 a2−b2=4 ， 又 a=2b>0 ，所以 a2=8 ， b2=4 ， 故 C 的方程为 x28+y24=1 ． 证明：由题意可知直线 AB 的斜率存在， F2(2，0) ， 设直线 AB 的方程为 y=kx+m ， 设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， 由 {x28+y24=1y=kx+m ，得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0 ， 则 Δ=16k2m2−4(1+2k2)(2m2−8)=64k2−8m2+32>0 ， x1+x2=−4km1+2k2 ， x1x2=2m2−81+2k2 ． 设直线 F2A ， F2B 的倾斜角分别为 α ， β ， 则 α=π−β ， kF2A+kF2B=y1x1−2+y2x2−2=0 ， 所以 y1(x2−2)+y2(x1−2)=0 ， 即 (kx1+m)(x2−2)+(kx2+m)(x1−2)=0 ， 所以 2kx1x2+(m−2k)(x1+x2)−4m=0 ， 所以 2k×2m2−81+2k2+(2k−m)×4km1+2k2−4m=0 ， 化简可得 m=−4k ， 所以直线 AB 的方程为 y=kx−4k=k(x−4) ， 故直线 AB 过定点 (4，0) ．

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