题目

如图，六面体ABCDEFGH中，平面平面EFGH， . （1）若，平面平面EFGH，二面角F-AE-H的大小为120°，，，求三棱锥的体积；（2）若A，E，G，C四点共面，求证：直线FB与HD相交. 答案：解： ∵AE⊥EF ， AE⊂ 平面ABFE，平面 ABFE⊥ 平面 EFGH 且交于EF，则 AE⊥ 平面 EFGH ， ∴AE⊥EH ， ∴∠FEH 为二面角 F−AE−H 的平面角， ∴∠FEH=120° ， ∴VA−EFH=13S△EFH⋅AE=13×12×2×2×sin120°×1=33 . 所以三棱锥 A−EFH 的体积为 33 . 证明： ∵ A 、 E 、 G 、 C 四点共面， ∴ 直线 EA 、 GC 相交或平行，若 EA//GC ， ∵EA⊂ 平面 ABFE ， GC⊄ 平面 ABFE ， ∴GC// 平面 ABFE ，又 ∵GC⊂ 平面 GCBF ，平面 GCBF∩ 平面 ABFE=BF . ∴GC//BF ，则 AE//BF ， ∵ 平面 ABCD// 平面 EFGH ，平面 ABCD∩ 平面 ABFE=AB ，平面 EFGH∩ 平面 ABFE=EF . ∴AB//EF ，则四边形 ABFE 为平行四边形，则 AB=EF 与已知 2AB=EF 矛盾， ∴EA//GC 不成立，只能是 EA 、 GC 相交，如图所示：设 EA∩GC=P ， ∵GC⊂ 平面 GCBF ， EA⊂ 平面 ABFE ， ∴P∈ 平面GCBF， P∈ 平面 ABFE ， ∴P 点在平面 GCBF 与平面 ABFE 的交线上， ∵ 平面 CBFG∩ 平面 ABFE=FB ， ∴P∈FB ，同理可证， P∈HD ， ∴FB∩HD=P ，即证直线 FB 与 HD 相交.

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