题目

已知函数 ， ， ． 从下面的两个条件中任选其中一个：① ；②若 ， ，且 的最小值为 ， ；求解下列问题： （Ⅰ）化简 的表达式并求 的单调递增区间； （Ⅱ）请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象． （注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分） 答案：若选①： （Ⅰ） f(x)=3cos2x+33sinxcosx−32 =32(1+cos2x)+232sin2x−32 =332sin2x+32cos2x=3sin(2x+π6) ， 令 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ，解得 −π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z， 所以函数 f(x) 的单调递增区间为 [−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z. （Ⅱ）表格如下： X=2x+π6 0 π2 π   3π2   2π x −π12   π6   5π12   2π3   11π12   y 0 3 0 -3 0 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示： 若选②： （Ⅰ）因为 f(x1)=3 ， f(x2)=0 ，且 |x1−x2| 的最小值为 π4 ，所以 T4=π4， 则 T=π ，所以 ω=2πT=2 ， 又 f(0)=32 ，所以 3sinφ=32 ，解得 φ=π6 ，所以 f(x)=3sin(2x+π6) ， 令 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ，解得 −π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z， ，所以函数 f(x) 的单调递增区间为 [−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z. （Ⅱ）表格如下： X=2x+π6 0 π2 π   3π2   2π x −π12   π6   5π12   2π3   11π12   y 0 3 0 -3 0 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示：

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