题目

在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与圆O： 相切． （1） 直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为 ，求直线l的方程； （2） 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由． 答案： 解：∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切， ∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r= |10|1+9=10 ． 记圆心到直线l的距离为d，∴d= 10−6=2 ． 当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0． ∴ d=|1−2k|1+k2=2 ，解得k=﹣ 34 ，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0． 综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0 解：点M、N的纵坐标之积为定值10． 设P（x1，y1）， ∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3）， ∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3= y1−3x1−1(x−1) ，y﹣3= y1−3x1+1(x+1) ． 令x=0，得M（0， 3x1−y1x1−1 ），N（0， 3x1+y1x1+1 ）， 则 yM⋅yN=3x0−y0x0−1⋅3x0+y0x0+1=9x02−y02x02−1 （*）． ∵点P（x1，y1）在圆C上，∴ x12+y12=10 ，即 y12=10−x12 ， 代入（*）式，得 yM⋅yN=9x12−(10−x12)x12−1=10 为定值

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