题目

函数，.（1）试讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的集合；（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明. 答案：【答案】（1）当时，在 上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.【解析】（1）求导，利用解不等式，分类讨论即可；（2）利用（1）中的单调性结论求的最小值，可得关于的不等式，再解关于的不等式即可；（3）令，原问题转化为的根的个数问题，讨论的单调性，找出根的个数即可.（1）定义域为： ，，由得： ，当时，， 在 上是减函数，在上是增函数，当时，， 在上是减函数，当时，，在上是减函数，综上所述，当时，在 上是减函数，在上是增函数， 当时，在上是减函数.（2）由（1）知，当时，，由恒成立得，，设，，，由得：， 在 上是增函数，在上是减函数，，，要使恒成立，则，当时，在上是减函数，且，当，，不合题意，综上所述，实数的集合；（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：由得，，令，因为，所以是的一根，， ，当时，，，所以，在上单调递减，，即在上无实根；，当时，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一实数根 ，，且满足，①当时，，在上单调递减，此时，在上无实根；②当时，，在上单调递增，此时，，故在上有唯一实根；，当时，由（1）知，在上单调递增，所以，故即在上无实根；综合，，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.

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