题目

如图所示，直线 与椭圆 交于 两点，记 的面积为 （1） 当 时，求 的最大值； （2） 当 时，求直线 的方程． 答案： 解：由题意得，此时 0<b<1 ，将 y=b 代入椭圆方程得： x24+b2=1 ， x=±21−b2 ，所以， AB=41−b2 ，S=12AB⋅b=1−b2⋅b=2(1−b2)b2≤2(1−b2)+b22=1 ，当且仅当 b2=12 ，即 b=22∈(0，1) 时等号成立，所以 S 的最大值为1 解：由 {y=kx+bx24+y2=1  得 (k2+14)x2+2kbx+b2−1=0 （*），其中 Δ=4k2−b2+1 ，当 Δ>0 时，设 A(x1，y1)、B(x2，y2) ， 方程（*）两个不等根为 x1、x2 ，则有x1+x2=−2kbk2+14，x1x2=b2−1k2+14 ，AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x1−x2)2[1+(y1−y2x1−x2)2] ，=[1+(y1−y2x1−x2)2](x1+x2)2−4x1x2 ，AB=1+k21+4k2−b214+k2=2 ，①由 AB=2，S=1 得， O 到直线 AB 距离为1，则 |b|1+k2=1 ，即 b2=k2+1 ，代入①化简得， k4−k2+14=0 ，所以， k2=12 ， b2=k2+1=32 ，经检验，满足 Δ>0 ，又因为 k≥0，b>0 ，所以 k=22，b=62 ，直线 AB 的方程为 y=22x+62

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