题目

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点N为BC边上的一点，且BN＝n（n＞0），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AB边向点B运动，连接NP ， 作射线PM⊥NP交AD于点M ， 设点P运动的时间是t秒（t＞0）． （1） 当点M与点A重合时，t等于多少秒，当点M与点D重合时，n等于多少（用含字母t的代数式表示） （2） 若n＝2，则 ①在点P运动过程中，点M是否可以到达线段AD的延长线上？通过计算说明理由； ②连接ND ， 当t为何值时，ND∥PM？ （3） 过点N作NK∥AB ， 交AD于点K ， 若在点P运动过程中，点K与点M不会重合，直接写出n的取值范围． 答案： 解：当点M与点A重合时，P与B重合，N与C重合，如图1， ∴PA＝AB＝4， ∴t＝4， 即t＝4秒，点M与点A重合； 当点M与点D重合时，如图2， ∵∠DPN＝90°， ∴∠APD+∠BPN＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADP+∠APD＝90°， ∴∠BPN＝∠ADP， ∴△DAP∽△PBN， ∴ADAP=PBBN ， ∴3t=4−tn, ∴n=t(4−t)3=−13t2+43t ， 故答案为4， −13t2+43t ； 解：①不能； 如图3， 同理得：△AMP∽△BPN． ∴ AMAP=BPBN ， 即  AM t=4−t2 ， ∴AM＝ 12 t（4﹣t）＝ −12t2+2t=−12(t−2)2+2 ， 显然，AM是关于t的二次函数，当t＝2时，AM取得最大值为2，此时点M在线段AD上，所以点M不能到达线段AD的延长线上． ②如图4，过点N作NQ∥AB，交AD于点Q， ∴∠PAM＝∠NQD＝90°， 当ND∥PM时，有∠PMA＝∠NDQ， ∴△PMA∽△NDQ， ∴ PANQ=AMDQ ， 而PA＝t，NQ＝4，MA＝ −12t2+2t ，DQ＝3﹣2＝1， 代入得， t4=12t2+2t1 ，即2t2﹣ 72 t＝0，解得，t1＝0（舍去），t2＝ 72 ． ∴当t＝ 72 秒时，ND∥PM． 2＜n≤3

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