题目

在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P’ 在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过放缩和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O( k, θ )，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空：   ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（               ，                  ）； ②如图2，△ABC是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为                            cm； （2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI、△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．   答案： 解：（1）①（，）；-----------2分             ②；--------------------4分(2）△AO1O3经过旋转相似变换，得到，此时，线段O1O3变为线段；------------------------------6分           经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段AO2．------------------------------8分           ，，           ∴O1O3= AO2，O1O3⊥ AO2------10分

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