题目

已知函数 （1） 求函数 的定义域及其值域． （2） 若函数 有两个零点，求m的取值范围． 答案： 解:由题意可知 2x−1≥0 ， ∴x≥0 ，函数 f(x) 的定义域为 [0,+∞) ， f(x)=2x−1+1≥1 ，函数 f(x) 的值域为 [1,+∞) 解: ∵f(x)=2x−1+1 ， ∴y=2x−m(2x−1+1) ， 令 t=2x−1+1(t≥1) ， 可得 2x=1+(t−1)2=t2−2t+2 ， 所以原函数转化为 y=t2−(m+2)t+2(t≥1) ，记 h(t)=t2−(m+2)t+2(t≥1) ， 要使函数 y=2x−mf(x) 有两个零点， 即方程 h(t)=t2−(m+2)t+2=0 在 [1,+∞) 上有两个根， 所以 {h(1)≥0m+22>1(m+2)2−8>0  ，解得 22−2<m≤1 ， 所以当 22−2<m≤1 时，函数 y=2x−mf(x) 有两个零点

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