题目

观察以下等式：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， ……按照以上规律．解决下列问题： （1） 写出第5个等式：； （2） 写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 答案： 【1】(2×5+1)2=(6×10+1)2−(6×10)2 解：第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2，证明如下：等式左边：(2n+1)2=4n2+4n+1，等式右边：[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2=[(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n]⋅[(n+1)⋅2n+1−(n+1)⋅2n]=[(n+1)⋅4n+1]×1=4n2+4n+1，故等式(2n+1)2=[(n+1)⋅2n+1]2−[(n+1)⋅2n]2成立．

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