题目

如图1，在边长为3的等边△ABC中，过点A作AC的垂线交CB延长线于点D.点P，Q分别在线段BD，AC上，且 .设 . （1） 求BD的长； （2） 过点Q作QH⊥BC，垂足为H，当以P，Q，H为顶点的三角形与△CDA相似时，求x的值； （3） 如图2，PQ交AB于点E，过点E作EF BD交AD于点F.设 ，求m与x之间的函数关系式. 答案： 解：在Rt△ACD中， ∠C=60∘ ∴∠D=30° ∴ CD=2AC=6 ∴ BD=CD−BC=3 解：在Rt△CQH中， CQ=3−x ， ∠ACD=60∘ ∴ QH=CQ⋅sin60∘=32(3−x)   CH=12CQ=12(3−x) ∴ PH=PC−HC=3+x−12(3−x)=32x+32 当△PQH∽△CDA时，有 ∠QPH=60∘ ∴ QH=3PH 得 32(3−x)=3(32x+32) 解得 x=0 当△QPH∽△CDA时，有 ∠PQH=60∘ ∴ PH=3QH 得 3×32(3−x)=(32x+32) 解得 x=1 ∴ x=0 或1 解：过点Q作QN∥AB交BC于点N，可得△CQN为等边三角形 NQ=NC=QC=3−x ， BN=x ， PN=2x ∵BE∥QN ∴△PBE∽△PNQ ∴ BEQN=PBPN ， ∴ BE=PBPN⋅QN=x2x×(3−x)=32−12x ∵EF∥BD ∴ ∠AFE=∠D=30∘ ∴ ∠AFE=∠FAE=30∘ ∴ EF=AE ∴ m=AB−BE=3−(32−12x)=12x+32

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