题目

已知 是椭圆 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上，且 . （1） 当 时，求 的面积； （2） 当 时，求 的值. 答案： 解：设 M(x1,y1) ，由题意知 y1>0 ， A(−2,0) ， 因为 |AM|=|AN| ，由椭圆的对称性可得 k=1 ，所以直线AM的方程为 y=x+2 ， 将 x=y−2 代入 x24+y23=1 中，可得 7y2−12y=0 ， 解得 y=127 或y=0（舍），即 y1=127 ， 所以 △AMN 的面积 S=2×12×127×127=14449 . 解：设直线AM的方程为 y=k(x+2)(k>0) ， 联立方程 {y=k(x+2)x24+y23=1 ，得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2−12=0 ， Δ=(16k2)2−4(3+4k2)(16k2−12)=9>0 所以 x1⋅(−2)=16k2−123+4k2 ，即 x1=6−8k23+4k2 ， 所以 |AM|=1+k2|x1+2|=121+k23+4k2 ， 设直线AN方程为 y=−1k(x+2) ，同理可求得 |AN|=12k1+k23k2+4 ， 由 19|AM|=8|AN| ，得 193+4k2=8k3k2+4 ，即 32k3−57k2+24k−76=0 ， 即 (k−2)(32k2+7k+38)=0 ， 因为 k>0 ，所以 32k2+7k+38>0 ，所以 k=2 .

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