题目

已知数列 满足 ，且 时， ， ， 成等差数列． （1） 求证：数列 为等比数列； （2） 求数列 的前 项和 ． 答案： 证明：由题意，当 n∈N* 时， an+1 ， an ， −23 成等差数列， 则 an+1−23=2an ，即 an+1=2an+23 ， ∴an+1+23=2an+23+23=2(an+23) ， 又 ∵a1+23=13+23=1 ， ∴ 数列 {an+23} 是以1为首项，2为公比的等比数列． 解：由（1），知 an+23=2n−1 ， 即 an=2n−1−23 ， n∈N* ． ∴Sn=a1+a2+…+an =(1−23)+(21−23)+(22−23)+…+(2n−1−23) =(1+21+22+…+2n−1)−23n =1−2n1−2−23n =2n−23n−1

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