题目

已知 ，数列 中的每一项均在集合 中，且任意两项不相等，又对于任意的整数 ，均有 ．例如 时，数列 为 或 ． （1） 当 时，试求满足条件的数列T的个数； （2） 当 ，求所有满足条件的数列T的个数． 答案： 解：若 a1=3 ，则 1+3≤2+a2 ，故 a2=2 ，则 a3=1 ； 若 a2=3 ，则 2+a2≤3+a3 ， ∴a3≥2 ，故 a3=2 ，则 a1=1 ； 若 a3=3 ，则 a1=1 ， a2=2 或 a1=2 ， a2=3 ； ∴ 当 n=3 时，满足条件的数列 T 为 3,2,1 ； 1,3,2 ； 1,2,3 ； 2,1,3 ； 故满足条件的 T 的个数为4 解：设满足条件的数列 T 的个数为 bn ，显然 b1=1 ， b2=2 ， b3=4 ， 不等式 i+ai≤j+aj 中取 j=i+1 ，则有 i+ai≤i+1+ai+1 ，即 ai≤1+ai+1 ， ①当 a1=n 时，则 a2=n−1 ，同理 a3=n−2 ，．．．， an=1 ，满足条件的数列只有 1 个； ②当 ai=n(2≤i≤n) ，则 ai+1=n−1 ，同理 ai+2=n−2 ，．．．， an=i ，即 ai=n 以后的各项是唯一确定的，又 ai=n 之前的满足条件的数列的个数为 bi−1 ， ∴ 当 n≥2 时， bn=bn−1+bn−2+⋅⋅⋅+b1+1 （*）， 当 n≥3 时， bn−1=bn−2+⋅⋅⋅+b1+1 ，代入（*）式得到 bn=bn−1+bn−1=2bn−1 ，且满足 b2=2b1 ， ∴ 对任意 n≥2 ，都有 bn=2bn−1 成立，又 b1=1 ， ∴bn=2n−1 ； 综上，满足条件的数列 T 的个数为 2n−1

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