题目

已知抛物线的焦点为 ， 且点与上点的距离的最大值为 ． （1） 求； （2） 当时，设 ， ， 是抛物线上的三个点，若直线 ， 均与相切，求证：直线与相切． 答案： 解：依题意作下图：由于F(0，p2)，依题意有|p2−2|+1=114解得p=152或p=12； 证明：当0<p≤1时，抛物线C：x2=y，设B，D，E的坐标分别为B(x0，y0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，由题意可知直线BD，BE，DE的斜率均存在，所以kBD=y1−y0x1−x0=x12−x02x1−x0=x0+x1 ，直线BD的方程为y−y0=(x0+x1)(x−x0)，即(x0+x1)x−y−x0x1=0，直线BD均与⊙M相切，所以有|x0x1+2|(x0+x1)2+1=1，即2x0x1+(y0−1)y1−y0+3=0…①，同理2x0x2+(y0−1)y2−y0+3=0…②，①−② 得：2x0(x1−x2)=−(y0−1)(y1−y2) ，y1−y2x1−x2=−2x0y0−1 ，所以直线DE的方程为y−y1=−2x0y0−1(x−x1) ，2x0x+(y0−1)y−y0+3=0，所以圆心(0，2)到直线DE的距离为|2(y0−1)−y0+3|4x02+(y0−1)2=|y0+1|(y0+1)2=1 ，所以直线DE与⊙M相切；综上，p=152或p=12.

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