题目

已知函数 （1） 证明函数在区间上是增函数； （2） 当时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 答案： ∀x1，x2∈(0，+∞)，x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(2x12−1x1)−(2x22−1x2)=2(x1+x2)(x1−x2)−x2−x1x1x2=(x1−x2)[2(x1+x2)+1x1x2]，因0<x1<x2，则x1−x2<0，x1x2>0，于是得f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)=2x2−1x 在区间(0，+∞)上是增函数. 由f(ax+1)−f(2x32)<0得，f(ax+1)<f(2x32)，由(1)知，f(x)在(0，+∞)上单调递增，而a>0，x≥1，即ax+1>0，2x32>0，于是得ax+1<2x32，依题意，ax+1<2x32在x≥1恒成立，令t=x≥1，则at+1<2t3，即a<2t3−1t=2t2−1t，令g(t)=2t2−1t，由(1) 知g(t)=2t2−1t在[1，+∞)上单调递增，当t=1时，g(t)min=g(1)=1，从而得0<a<1，所以正实数a的取值范围是0<a<1.

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