题目

已知函数 （ 为正常数），且 的导函数 在 处取得极小值． （1） 求实数 的值． （2） 设函数 ，若方程 在区间 内恰有两个不等的实数根，求实数 的取值范围．（参考数据： ） （3） 记函数 ， ，设 ， 是函数 的两个极值点，点 ， ，直线 的斜率为 ，若 对 恒成立，求实数 的最大值． 答案： 解：因为 f(x)=ax2+lnx ，所以 f′(x)=1x+2ax ， 令 φ(x)=1x+2ax ，则 φ′(x)=−1x2+2a ， 由题意知 φ′(12)=0 ，所以 −4+2a=0 ，解得 a=2 ， 此时 φ′(x)=−1x2+4=4x2−1x2=(2x+1)(2x−1)x2 ， 当 x∈(0,12) 时， φ′(x)<0 ，则 f′(x)=φ(x)=1x+2ax 单调递减； 当 x∈(12,+∞) 时， φ′(x)>0 ，则 f′(x)=φ(x)=1x+2ax 单调递增； 因此 f′(x) 在 x=12 处取得极小值，满足题意； 所以实数 a 的值为2． 解：方程 f(x)−g(x)+m=0 恰有两个不相等的实数根， 即 m=g(x)−f(x) 在 [12,2] 内恰有两个不相等的实数根， 令 u(x)=g(x)−f(x)=3x−x2−lnx ， x∈[12,2] ， 则 y=m 与 u(x)=3x−x2−lnx 在 [12,2] 内有两个不同的交点， 又 u′(x)=3−2x−1x=−(2x−1)(x−1)x ， 由 u′(x)>0 得 12<x<1 ， 由 u′(x)<0 得 1<x<2 ． 所以函数 u(x) 在 [12,1] 内单调递增，在 [1,2] 内单调递减， 因此 u(x) 在 x=1 处有极大值 u(1)=2 ； 又 u(12)=54+ln2 ， u(2)=2−ln2 ，且 u(12)>1.75>u(2) ， 为使 y=m 与 u(x)=3x−x2−lnx 在 [12,2] 内有两个不同的交点， 只需 u(12)≤m<u(1) ，即 54+ln2≤m<2 ， 所以实数 m 的取值范围是 [54+ln2,2) ． 解： h(x)=f(x)−32x2−(b+1)x=lnx+12x2−(b+1)x ， 所以 h′(x)=1x+x−(b+1)=x2−(b+1)x+1x ， 由题意可知 x1 ， x2 是方程 x2−(b+1)x+1=0 的两个实根， 且 x2>x1>0 ，所以 Δ>0 ， x1+x2=b+1 ， x1x2=1 ， 因为 kAB=h(x1)−h(x2)x1−x2 ， x1−x2<0 ， 所以 kAB≤rx1−x2 恒成立等价于 h(x1)−h(x2)≥r 恒成立， 即 r≤[h(x1)−h(x2)]min ， 由 b+1=x1+x2 ， 1=x1x2 得 h(x1)−h(x2)=lnx1−lnx2+12x12−12x22−(b+1)(x1−x2) =lnx1x2+12(x12−x22)−(x1+x2)(x1−x2)=lnx1x2−12(x12−x22) =lnx1x2−12x1x2(x12−x22)=lnx1x2−12(x1x2−x2x1) 设 x1x2=t(0<t<1) ，则 h(x1)−h(x2)=lnt−12(t−1t) ， 又 (b+1)2=(x1+x2)2x1x2=t+1t+2 ， b≥32 ， 所以 t+1t+2≥(32+1)2=254 ，解得 t≤14 或 t≥4 （舍）， 所以 0<t≤14 ， 设 v(t)=lnt−12(t−1t) ， 0<t≤14 ， 则 v′(t)=1t−12(1+1t2)=−(t−1)22t2 ， 因为 0<t≤14 ，所以 v′(t)<0 ，即 v(t) 在 (0,14] 内单调递减， 所以 v(t)min=v(14)=158−2ln2 ，即 r≤158−2ln2 ， 所以实数 r 的最大值为 158−2ln2 ．

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