题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ． （1） 若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围； （2） 当△ABC的周长取最大值时，求b的值． 答案： 解：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2 B+C2 +sinA= 45 ， ∴2 cos2π−A2 +sinA= 45 ，即 2 sin2A2 +sinA= 45 ，∴cosA﹣sinA= 15 ，平方可得sin2A= 2425 ，∴cosA+sinA= (cosA+sinA)2 = 75 ，求得cosA= 45 ，sinA= 35 ∈（ 12 ， 22 ），结合满足条件的△ABC有且只有一个，∴A∈（ π6 ， π4 ）．∴由正弦定理可得 a=bsinA，即2= 35 b，即 b= 103 ；或 a≥b，即0＜b≤2，综上可得，b∈（0，2]∪{ 103 }． 解：由于△ABC的周长为a+b+c， 由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bc• 45 =（b+c）2﹣ 185 bc≥（b+c）2﹣ 185 • (b+c2)2 = 110 •（b+c）2，∴b+c≤ 40 =2 10 ，当且仅当b=c时，取等号，此时，三角形的周长为 2+b+c最大为2+2 10 ，故此时b= 10

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