题目

在等腰梯形ABCD中，DC//AB，AB= 6， ， 过点A作AH⊥BC，垂足为点H． （1） 当点C与点H重合时（如图），求线段BC的长； （2） 当点C不与点H重合时，联结AC，作△ACH的外接圆O．①当点C在BH的延长线上时（如图），设CH=x，CD = y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；②延长CD交圆O于点G，如果△ACH与△ACG全等， 求CD的长 答案： 解：∵AC⊥BC，AB= 6，tanB=22，点C与点H重合时，BC=BH∴tanB=ACBC设BC=a，则AC=22a∴AB=AC2+BC2=8a2+a2=3a∵AB=6∴a=2∴BC=2 解：①如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，则四边形CDFE是矩形，∴EF=CD=AB−BE−AF，DF=CE∵∠DAB=∠B=90°，AD=BC，DF=CE∴AF=EBRt△BCE中，tanB=22=CEEB，设EB=b，则CE=22b，∴BC=b2+(22b)2=3b∵BC=BH+CH=2+x∴b=13(2+x)∴y=CD=AB−2BE=6−2×13(2+x)=−23x+143即y=−23x+143∵CD≥0∴−23x+143≥0∴x≤7∴0≤x≤7∴y=−23x+143(0≤x≤7)②如图，∵C，D，G共线，∠AHC=90°，△ACH与△ACG全等∴∠G=90°， ∴△ACH≌△ACG∴CG=CH∴CG=CH=x∵∠DAB=∠B，CG//AB∴∠ADG=∠B∴tan∠ADG=22设GD=c，AG=22c，∴AD=3c∴GD=13AD∵AD=BC=2+x∴GD=13(2+x)∴CD=CG−GD=CH−GD=x−13(2+x)∵CD=−23x+143∴−23x+143=x−13(2+x)解得x=4∴CD=−23×4+143=2

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