题目

已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x＞0,都有f(x)＜0,f(3)=-3. (1)试证明函数y=f(x)是R上的单调减函数；(2)试证明函数y=f(x)是奇函数；(3)试求函数y=f(x)在［m,n］(m、n∈Z,且mn＜0)上的值域. 答案：剖析:(1)可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.     (2)可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f(0)=0后，再利用条件f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中x1、x2的任意性，可使结论得证.    (3)由(1）的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f(m)与f(n)就可得所求值域.(1)证明:任取x1、x2∈R,且x1＜x2,f(x2)=f［x1+(x2-x1)］,    于是由题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x2)=f(x1)+f(x2-x1).    ∵x2＞x1,    ∴x2-x1＞0.    ∴f(x2-x1)＜0.    ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1).    故函数y=f(x)是单调减函数.(2)证明:∵对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),    ∴若令x=x′=0,则f(0)=f(0)+f(0).    ∴f(0)=0.    再令x′=-x,    则可得f(0)=f(x)+f(-x).    ∵f(0)=0,    ∴f(-x)=-f(x).    故y=f(x)是奇函数.(3)解:由函数y=f(x)是R上的单调减函数,    ∴y=f(x)在［m,n］上也为单调减函数.    ∴y=f(x)在［m,n］上的最大值为f(m),最小值为f(n).    ∴f(n)=f［1+(n-1)］=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)=…=nf(1).    同理，f(m)=mf(1).    ∵f(3)=-3,    ∴f(3)=3f(1)=-3.    ∴f(1)=-1.    ∴f(m)=-m,f(n)=-n.    因此，函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.讲评:(1)满足题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)的函数,只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.    (2)若将题设条件中的x＞0，均有f(x)＜0改成均有f(x)＞0,则函数f(x)就是R上的单调增函数.    (3)若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f(m)与f(n)的值，故m、n∈Z不可少.

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