题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。 （1） 求CD的长。 （2） 若点M是线段AD的中点，求 的值。 （3） 请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°? 答案： 解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠DAC= 12 ∠BAC=30°． 在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2 3 解：易得，BC=6 3 ，BD=4 3 ． 由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM． ∵AM=DM， ∴△DFM≌△AGM， ∴AG=DF． 由DE∥AC，得△BFE∽△BGA， ∴ EFAG=BEAB=BDBC ∴ EFDF=EFAG=BDBC=4363=23 解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q， ∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。 ①    当⊙Q与DE相切时，如图1， 过Q点作QH⊥AC， 并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG 设⊙Q的半径QP=r则QH= 12 r，r+ 12 r=2 3 ， 解得r= 433 ． ∴CG= 433 × 3 =4，AG=2． 易知△DFM∽△AGM，可得 DMAM=DFAG=43 ，则 DMAD=47 ∴DM= 1673 ． ②    当⊙Q经过点E时，如图2， 过C点作CK⊥AB，垂足为K． 设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3 3 -r． 在Rt△EQK中，12+（ 33 -r）2=r2，解得r= 1493 ， ∴CG= 1493 × 3 = 143 易知△DFM∽△AGM，可得DM= 1453 ③    当⊙Q经过点D时，如图3， 此时点M与点G重合， 且恰好在点A处，可得DM=4 3 ． 综上所述，当DM= 1673 或 1453 <DM<4 3 时，满足条件的点P只有一个。

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