题目

蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆 的方程为 ，直线 与圆M交于 ， ，直线 与圆 交于 ， .原点O在圆M内. （1） 求证： . （2） 设 交x轴于点P， 交x轴于点Q.求证： . 答案： 解：已知圆M的方程为 x2+(y−b)2=r2 ， 直线 x=my 与圆M交于 C(x1,y1) ， D(x2,y2) ，联立 {x2+(y−b)2=r2x=my ， 化简得 (m2+1)y2−2by+b2−r2=0 ， 则 y1+y2=2bm2+1 ， y1y2=b2−r2m2+1 ，所以 y1+y2y1y2=2bb2−r2 ， 同理线 x=ny 与圆 M 交于 E(x3,y3) ， F(x4,y4) ， 联立 {x2+(y−b)2=r2x=ny 化简得 (n2+1)y2−2by+b2−r2=0 ， 则 y1+y2=2bn2+1 ， y1y2=b2−r2n2+1 ，所以 y3+y4y3y4=2bb2−r2 ， 故有 y1+y2y1y2=2bb2−r2=y3+y4y3y4 ，所以 y1+y2y1y2=y3+y4y3y4 成立 解：不妨设点 P(p,0) ，点 Q(q,0) ， 因为C、P、F三点共线，所以 y4−0x4−p=y1−0x1−p ，化简得 p=x4y1−xy14y1−y4 ， 因为点C在直线 x=my 上，所以 x1=my1 ，点 F 在直线 x=ny 上，所以 x4=ny4 ， 则 p=ny4y1−myy14y1−y4=y1y4(n−m)y1−y4 ， 同理因为E、Q、D三点共线，所以 y2−0x2−q=y3−0x3−q ，化简得 q=x2y3−xy32y3−y2 ， 因为点D在直线 x=my 上，所以 x2=my2 ，点 E 在直线 x=ny 上，所以 x3=ny3 ， 则 q=my2y3−nyy32y3−y2=y2y3(m−n)y3−y2 ， 又由 y1+y2y1y2=y3+y4y3y4 ，可得 1y1+1y2=1y3+1y4 ， ∴1y4−1y1=1y2−1y3 ， 即 y1−y4y1y4=y3−y2y2y3 ，所以 y1y4y1−y4=y2y3y3−y2 ，则 y1y4(n−m)y1−y4=−y2y3(m−n)y3−y2 ， 所以 p=−q ，所以 |OP|=|OQ| 成立

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