题目

如图，将四边形ODFE放在平面直角坐标系 中， ，在三角形ABC中， ，点C在四边形ODFE内部，点A和点B分别在边EF和OD上，AC平分 ，边EF与y轴正半轴交于点 ，设 （ 为锐角）． （1） 请直接写出点E的坐标，并证明：BC平分 ； （2） 当 时， ①若 ，求 的值； ②若点B的坐标为 时，试问：BG是否平分 ？说明理由． 答案： 解： ∵点G（0，a），EG=b， ∴E(−b，a)， ∵EF∥OD， ∴∠BAF+∠ABD=180°， ∵∠C=90°， ∵∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠CAF+∠CBD=90°， ∵AC平分∠FAB，即∠BAC=∠CAF， ∴∠ABC=∠CBD， 即BC平分 ∠ABD ； 解：①由(1)得∠FAC+∠CBD=90°， 又∵ ∠FAC=3∠CBD ， ∴4∠CBD=90°， ∴∠CBD=22.5°， ∴∠FAC=3∠CBD=67.5°， ∵AC∥OE， ∴∠θ= ∠FAC=67.5°； ②BG平分∠ABO，理由如下： B (b，0) ， ∴OB=b， 而EG=b， ∴EG=OB， ∵EF∥OD， ∴∠EGO=∠BOG=90°，又OG=GO， ∴△EGO≌△BOG（SAS）， ∴∠OBG=∠E=θ ， ∴∠EOG=∠BGO， ∴OE∥BG， ∵OE∥AC， ∴BG∥AC， ∴∠FAC=∠E=θ，∠ABG=∠BAC， ∵AC平分∠FAB，∠BAC=∠FAC=θ，∠ABG=θ， ∴∠OBG=∠ABG，即BG平分∠ABO.

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