题目

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面垂直于和，是棱的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的正弦值；(Ⅲ)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 答案：【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；(Ⅲ)设出点的坐标，由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N是否存在.(Ⅰ)以A点为坐标原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，故，设平面SCD的法向量为，则：，据此可得平面SCD的一个法向量为，且，据此可得，平面,则平面.(Ⅱ)设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量,二面角的平面角大小为，易知：.(Ⅲ)假设存在满足题意的点N，且：，设点N的坐标为，据此可得：，由对应坐标相等可得，故，由于平面SAB的一个法向量，由题意可得：，解得：，据此可得存在满足题意的点N，且的值为.

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