题目

如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧处于自由状态，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧的右端B与轨道最低点C的距离为4R。现用一个质量为m的小球将弹簧压缩（不栓接），当压缩至F点（图中未画出）时，将小球由静止释放，小球恰好经过BCDE轨道上的E点抛出后落到水平轨道AC上，已知重力加速度为g，求： （1） 弹簧被压至F点时具有的弹性势能 ； （2） 小球经过C点时，小球对轨道的压力大小； （3） 若水平轨道BC段有摩擦，小球从F’点（此时弹簧的弹性势能为4mgR）静止释放，要使小球能滑上半圆形CDE轨道且不脱轨，求小球与BC段动摩擦因数 的取值范围。 答案： 解：设小球恰好经过E点时的速度大小为vE，则根据牛顿第二定律有 mg=mvE2R    ① 设小球经过C点时的速度大小为vC，则对小球从C点运动到E点的过程由动能定理可得 −2mgR=12mvE2−12mvC2  ② 对弹簧将小球弹开的过程由能量守恒定律可得 Ep=12mvC2    ③ 联立①②③解得 vC=5gR    ④ Ep=52mgR ⑤ 解：设小球经过C点时所受轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律可得 FN−mg=mvC2R ⑥ 联立④⑥解得 FN=6mg    ⑦ 根据牛顿第三定律可知小球经过C点时对轨道的压力大小为6mg。 解：当小球被释放后恰好能滑到C点时，根据能量守恒定律可得 4mgR−4μmgR>0    ⑧ 解得μ＜1。 当小球被释放后恰好能滑到D点时，根据能量守恒定律可得 4mgR−4μmgR≤mgR    ⑨ 解得 μ≥34 。 当小球被释放后恰好能滑到E点时，设小球在E点速度大小为vE′，则根据牛顿第二定律有 mg=mvE'2R   ⑩ 对小球从释放到运动到E点的过程根据能量守恒定律可得 4mgR−4μmgR≥2mgR+12mvE'2 ⑪ 联立⑩⑪解得 μ≤38 。 综上所述，要使小球能滑上半圆形CDE轨道且不脱轨，小球与BC段动摩擦因数μ的取值范围是 34≤μ<1 或 μ≤38 。

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