题目

已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， . （1） 若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解； （2） 若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集； （3） 若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，求证： 在R上单调递增. 答案： 由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1， 则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2； 由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示 ①当x≤-t2时，h(x)≤f(x)恒成立； ②当x>-t2时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2， 解得x≤1-2t或x≥1+2t， 综上可得x≤1-2t或x≥1+2t， 故解集为： (−∞，(1−2)t]∪[(1+2)t，+∞) 由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|， ∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立 ∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……① ∵t>0且 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增 ∴x-t<x<0 则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立) 得f(x-t)<f(x) ∴f(x)-f(x-t)>0 则由①得[f(x+t)-f(x)]·[f(x)-f(x-t)]⩾0f(x+t)-f(x)≥f(x)-f(x-t)=f(x)-f(x-t)>0 ∴f(x+t)-f(x)>0 即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0 ∴f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)f(x+t)>f(x)f(x)>f(x-t)对t>0都成立， 则f(x)在R上单调递增.

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