题目

已知 的内角 、 、C的对边分别为a、b、c，面积为 ，且 ． （1） 求角 ； （2） 若角 的角平分线交 于点 ，且 ，求 ． 答案： 解：因为 △ABC 的面积为 332c2cosA ， 所以 12bcsinA=332c2cosA ， 因为 b=3c ，所以 12⋅3c⋅csinA=332c2cosA ， 所以 tanA=3 ， 又 0°<A<180° ，所以 A=60° 解：因为 A=60° ，角 A 的角平分线交 BC 于点 D ，所以 ∠CAD=∠BAD=30° ， 又 b=3c ，所以 CDBD=S△CADS△DAB=12b⋅AD⋅sin30°12AD⋅csin30°=bc=3 ， 因为 BD=7 ，所以 CD=37 ，所以 a=CB=47 ， 因为 a2=b2+c2−2bccosA ， 所以 16×7=9c2+c2−2⋅3c⋅c⋅12 ，解得 c=4 ， 在 △ABD 中，由正弦定理可知： BDsin∠BAD=csin∠ADB ， 即 712=4sin∠ADB ，所以 sin∠ADB=27 ， 因为 b=3c>c ，所以 B>C . 因为 ∠ADB=30°+C ， ∠ADC=30°+B ， 所以 ∠ADB<∠ADC ，所以 ∠ADB 为锐角， 所以 cos∠ADB=37=217 .

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