题目

如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过两点（1）求抛物线的解析式；（2）作直线垂直于轴，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，交轴于点 .求当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标. 答案：令 y=−12x+2 中y=0，得 −12x+2=0 ，解得x=4，令 y=−12x+2 中x=0，得y=2， ∴A、B 点的坐标为 A(0,2),B(4,0) ，将点A、B的坐标代入 y=−x2+bx+c 中，得 {c=2−16+4b+c=0 ，解得 {c=2b=72 ， ∴ 抛物线解析式为 y=−x2+72x+2 ； (2)∵MN⊥x 轴于点 E ，且点 E(t,0) ， ∴xN=xM=xE=t, ∵ 点 M 在直线 y=−12x+2 上，点 N 在抛物线 y=−x2+72x+2 上， ∴yM=−12t+2,yN=−t2+72t+2 ， ∴MN=yN−xN =(−t2+72t+2)−(−12t+2) =−t2+4t =−(t−2)2+4 ∴ 当 t=2 时， MN 有最大值，最大值是 4 ； ∵t=2， ∴M（2,1），N（2,5），设点D的坐标为（m，n）， ∵以 A,M,N,D 为顶点作平行四边形， ∴①当MD为对角线时，m+2=0+2，n+1=2+5，解得m=0，n=6， ∴D（0,6）； ②当AM为对角线时，m+2=0+2，n+5=2+1，解得m=0，n=-2， ∴D（0，-2）； ③当MN为对角线时，m+0=2+2，n+2=1+5，解得m=4，n=4， ∴D（4,4），综上，所求的 D 点坐标为 (0,6),(0,−2) 或 (4,4) .

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