题目

求方程3x＋5y＝31的整数解。 答案：解：方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝ 31−5y3 ，即x＝10－2y＋ 1+y3 ，要使方程有整数解 1+y3 必须为整数． 取y＝2，得x＝10－2y＋ 1+y3 ＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2 当y＝5，得x＝10－2y＋ 1+y3 ＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5 当y＝8，得x＝10－2y＋ 1+y3 ＝10－16＋3无解 所以方程的解为： {x=7y=2,{x=2y=5 方法二：利用余数的性质 3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）  y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）  y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍） y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍） y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍） 当y＞6时，结果超过31，不符合题意。 所以方程的解为： {x=7y=2,{x=2y=5

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