题目

已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交C于 两点，交C的准线于 两点． （Ⅰ）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （Ⅱ）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 答案：解：由题设 F(12,0) ，设 l1:y=a,l2:y=b ，则 ab≠0 ，且 A(a22,0),B(b22,b),P(−12,a),Q(−12,b),R(−12,a+b2) ． 记过 A,B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x−(a+b)y+ab=0 （Ⅰ）由于 F 在线段 AB 上，故 1+ab=0 ， 记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2 ，则 k1=a−b1+a2=a−ba2−ab=1a=−aba=−b=k2 ， 所以 AR//FQ （Ⅱ）设 l 与x轴的交点为 D(x1,0) ， 则 SΔABF=12|b−a||FD|=12|b−a||x1−12|,SΔPQF=|a−b|2 ， 由题设可得 12|b−a||x1−12|=|a−b|2 ，所以 x1=0 （舍去）， x1=1 ． 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y) ． 当 AB 与x轴不垂直时，由 kAB=kDE 可得 2a+b=yx−1(x≠1) ． 而 a+b2=y ，所以 y2=x−1(x≠1) ． 当 AB 与 x 轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为 y2=x−1

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