题目

如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1） 求抛物线的表达式； （2） 当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则x＝ 12 ＝ 12 （2t﹣t），解得：t＝1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； 解：对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2）， 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）； 解：存在，理由： 点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2， 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 则 DEOE=OBOC 或 OCOB ，即 DEOE ＝2或 12 ，即 −m2+m+2m ＝2或 12 ， 解得：m＝1或﹣2（舍去）或 1+334 或 1−334 （舍去）， 故m＝1或 1+334 ．

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