题目

如图，在三棱锥中，D，E分别为的中点，且平面 ． （1） 证明：； （2） 若 ， 求锐二面角的大小． 答案： 证明：∵D为AC中点，且AD=DB，∴∠ABC=π2，即AB⊥BC．∵EC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EC⊥AB．∵BC∩EC=C，∴AB⊥平面EBC．又∵PC⊂平面BCE，∴AB⊥PC 解：由（1）可知，以BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设EC=a，∵AC=2BC=23EC，∴B(0，0，0)，E(3a，0，a)，P(23a，0，2a)，A(0，3a，0).C(3a，0，0)，∴BA→=(0，3a，0)，BP→=(23a，0，2a)．设平面PAB的法向量为n→=(x1，y1，z1)，有{n→⋅BA→=0，n→⋅BP→=0.即{3ay1=0，23ax1+2az1=0，，令x1=1，得n→=(1，0，−3)．设平面APC的法向量为m→=(x2，y2，z2)，由AC→=(3a，−3a，0)，CP→=(3a，0，2a)，有{AC→⋅m→=3ax2−3ay2=0CP→⋅m→=3ax2+2az2=0，取x2=23，则y2=2，z2=−3可得m→=(23，2，−3)，有m→⋅n→=23+33=53，|m→|=12+4+9=5，|n→|=2，∴二面角B−AP−C的余弦值为|cos<m→，n→>|=|m→⋅n→||m→||n→|=535×2=32，故锐二面角B−AP−C的大小为π6．

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