题目

已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1 （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜ ． 答案： 解：∵2Sn+an=1， ∴当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1，∴2an+an﹣an﹣1=0，化为 an=13an−1 ．当n=1时，2a1+a1=1，∴a1= 13 ．∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为 13 ．∴ an=(13)n ． 证明：bn= 2an+1(1+an)(1+an+1) = 2(13)n+1(1+13n)(1+13n+1) = 2×3n(1+3n)(1+3n+1) = 13n+1−13n+1+1 ，∴数列{bn}的前n项和为Tn= (13+1−132+1)  + (132+1−133+1)  +…+ (13n+1−13n+1+1) = 14−13n+1+1＜14 ．∴Tn＜ 14 ．

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