题目

阅读下面材料： 小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，小雅发现像 ， ， 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像 ， 等交换对称式都可以用 ， 表示，例如： ， .于是小雅把 和 称为基本交换对称式. 请根据以上材料解决下列问题： （1） 代数式① ，② ，③ ，④ ，⑤ 中，属于交换对称式的是（填序号）； （2） 已知 . ①            ，            （用含m，n的代数式表示）； ②若 ， ，求交换对称式 的值； ③若 ，判断交换对称式 是有最小值还是最大值，并求出最值. 答案： 【1】①④ 解：①m+n；mn ②由①得p=m+n=1，q=mn=-2， 而m²+n²=(m+n)²-2mn， ∴ n m + m n = n 2 + m 2 m n = ( m + n ) 2 − 2 m n m n = 1 2 − 2 × ( − 2 ) − 2 = − 5 2 . 答：对称式 n m + m n 的值为 − 5 2 . ③∵（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn=x2-px+q， ∴p=m+n，q=mn. ∴ m 3 + 1 m + n 3 + 1 n =m2+ 1 m +n2+ 1 n =（m+n）2-2mn+ m + n m n =p2-2q+ p q . ∵ p 2 − q = 0 ， ∴p2=q2，即q=±p. （i）当q=p时， ∴原式=p2-2p+1=（p-1）2≥0； （ii）当q=-p时， ∴原式=p2+2p-1=（p+1）2-2≥-2. 综上， m 3 + 1 m + n 3 + 1 n 的最小值为-2.

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