题目

椭圆 ： ，直线 过点 ，交椭圆于 ､ 两点，且 为 的中点. （1） 求直线 的方程； （2） 若 ，求 的值. 答案： 12m2+1m2=32m2<1 ， (m>2) ， ∴ 点 P 在椭圆里面， 设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， 则 {x122m2+y12m2=1x222m2+y22m2=1 ，两式相减可得 x12−x222m2+y12−y22m2=0 ， 变形为 (x1+x2)(x1−x2)2m2+(y1+y2)(y1−y2)m2=0 ，① ∵ 点 P(1，1) 是线段 AB 的中点， ∴x1+x2=2，y1+y2=2 ， 并且有椭圆对称性可知 x1−x2≠0 ， 由①式两边同时除以 x1−x2 ，可得， 22m2+2m2⋅y1−y2x1−x2=0 ， 设直线 AB 的斜率为 k ， ∴1+2k=0 ， 解得： k=−12 ， 所以直线 l 的方程 y−1=−12(x−1)⇒x+2y−3=0 ； |OP|=12+12=2 ， {x22m2+y2m2=1x+2y−3=0 ， 6y2−12y+9−2m2=0 ， 可得 y1+y2=2 ， y1y2=9−2m26 ， |AB|=1+1k2×(y1+y2)2−4y1y2=10 ， 化简为 1+4×4−2(9−2m2)3=10 ，且 m>2 解得： m=3

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