题目

在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ ，a为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 （如图所示）. （1） 若 ，求曲线 的极坐标方程并求曲线 与 交点的直角坐标； （2） 已知曲线 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 与 交于不同的四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值. 答案： ∵ r=2 ， ∴曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2 ， ∴{ρ2=4cos2θρ=2⇒cos2θ=12⇒cosθ=±32 ， ∴当 cosθ=32 时， sinθ=±12 ，当 cosθ=−32 时， sinθ=±12 ，分别代入 {x=2cosθy=2sinθ ， 可得四个交单坐标分别为 (62，22) ， (62，−22) ， (−62，22) ， (−62，−22) . 依题意，设 A(x，y) ，则由对称性可知，矩形ABCD面积 S=4xy ， ∴S=4xy=4(ρcosθ⋅ρsinθ)=2ρ2sin2θ ，代入  ρ2=4cos2θ ， ∴S=8sin2θcos2θ=4sin4θ≤4 ，“=”当且仅当 sin4θ=1 的时候取到， 故矩形 ABCD 面积的最大值为4.

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