题目

五边形 是由一个梯形 与一个矩形 组成的，如图甲所示，B为AC的中点， ． 先沿着虚线 将五边形 折成直二面角 ，如图乙所示． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求图乙中的多面体的体积． 答案：（Ⅰ）证明：四边形 BB1C1C 为矩形，故 B1C1⊥BB1 ，又由于二面角 A−BB1−C 为直二面角，故 B1C1⊥平面BB1A ，故 B1C1⊥BN ， 由线段 AC=CC1=2AN=8 易知， BB12=NB12+BN2 ， 即 BN⊥NB1 ，因此 BN ⊥平面C1B1N ， 所以平面 BNC ⊥平面C1B1N ； （Ⅱ）解：连接CN，过N作NM⊥BB1，垂足为M， VC-ABN= 13 ×BC·S△ABN= 13 ×4× 12 ×4×4= 323 ， 又B1C1⊥平面ABB1N，所以平面CB B1C1⊥面ABB1N，且平面CBB1C∩ABB1N= BB1， ∴NM⊥平面BB1，MM ⊂ 平面B1C1CB ∴NM⊥平面B1C1CB ∴ VN−B1C1CB = 13 ×NM· S矩形B1C1CB = 13 ×4×4×8= 1283 此几何体的体积V= VC-ABN+ VN−B1C1CB = 323 + 1283 = 1603 ．

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