题目

已知函数 是定义在 上的偶函数. （1） 求实数 的值； （2） 判断并用定义法证明函数 在 上的单调性. 答案： 因为函数 f(x)=mx+11+x2 是 R 上的偶函数， 所以 f(−x)=f(x) ，即 m⋅(−x)+11+(−x)2=mx+11+x2 对任意实数 x 恒成立， 所以 m⋅(−x)+1=mx+1 即 2mx=0 对任意实数 x 恒成立， 所以 m=0 ； 由（1）得 f(x)=11+x2 ，此函数在 (0，+∞) 上为减函数， 证明：任取 x1，x2∈(0，+∞) ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=11+x12−11+x22=x22−x12(1+x12)(1+x22) =(x2+x1)(x2−x1)(1+x12)(1+x22) . 因为 x1，x2∈(0，+∞) ，且 x1<x2 ，所以 (1+x12)(1+x22)>0 ， x2+x1>0 ， x2−x1>0 ， 所以 f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ， 所以函数 f(x)=11+x2 在 (0，+∞) 上为减函数.

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