题目

已知函数 . （1） 求证：当 时， ； （2） 记 ，若 有唯一零点，求实数a的取值范围. 答案： 证明：当 a=1 时， f(x)=x2−x+xlnx+1,x>0 ， ∴f′(x)=2x−1+1+lnx=2x+lnx ， ∴f′(x)=2x+lnx 易知函数 f′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， 设 f′(x0)=2x0+lnx0=0 ，①， 则 f(x) 在 (0,x0) 上单调递减，在 (x0,+∞) 上单调递增， f′(12)=1−ln2>0 ， ∴x0∈(0,12) ， f(x)min=f(x0)=x02−x0+x0lnx0+1 ，代入①式， ∴f(x)min=x02−x0+1=−(x0+12)2+54>−14−12+1>0 解： h(x)=f(x)−g(x)=ax2−2ax−x+xlnx+1=0 ， ∴a(x2−2x)=x−lnx−1 ， 若 x=2,h(2)=2ln2−1≠0 ，故2不为零点， 若 x≠2,p(x)=a=x−x1nx−1x2−2x ， ∴p′(x)=x21nx−2x2+4x−2(x2−2x)2 ， 令 p′(x)=0 ，解得 x=1 ， ∴p(x) 在 x∈(0,1] 单调递减， p(1)=0 ， 在 x∈(1,2), (2,+∞) 上单调递增， ∵limx→0+x−x1nx−1x2−2x=limx→0+x−x1nx−1x(x−2)=+∞ ， limx→2+x−x1nx−1x2−2x=+∞, limx→2−x−x1nx−1x2−2x=−∞ ， limx→+∞x−x1nx−1x2−2x→洛必达limx→+∞−1nx2x−2→洛必达 1x=0 ， 渐近线为 x=0,x=2,y=0 ， ∴a⩽0 .

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