题目

已知 ， ，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，设点 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 相交于点 ，求 的最小值及此时直线 的方程. 答案： 解：设 P(x,y) ，则 kPA⋅kPB=−34 ，即 yx−(−2)⋅yx−2=−34 整理得 x24+y23=1(x≠±2) 解：设 l ： x=my+1 ，将其与曲线 C 的方程联立，得 3(my+1)2+4y2=12 即 (3m2+4)y2+6my−9=0 设 M(x1,y2) ， N(x2,y2) ，则 y1+y2=−6m3m2+4 ， y1y2=−93m2+4 |MN|=1+m2(−6m3m2+4)2−4×−93m2+4=12(m2+1)3m2+4 将直线 FT ： y=−m(x−1) 与 x=4 联立，得 T(4,−3m) ∴ |TF|=9+9m2=31+m2 ∴ |TF||MN|=14×3m2+4m2+1=14(3m2+1+1m2+1) 设 t=m2+1 .显然 t≥1 构造 f(t)=|TF||MN|=14(3t+1t)(t≥1) f′(t)=14(3−1t2)>0 在 t∈[1,+∞) 上恒成立 所以 y=f(t) 在 [1,+∞) 上单调递增 所以 |FT||MN|=14(3t+1t)≥1 ，当且仅当 t=1 ，即 m=0 时取“=” 即 |TF||MN| 的最小值为1，此时直线 l ： x=1 .

查看本题答案和解析